Hur bestämmer man funktionens minsta värde

I detta förra avsnittet undersökte oss något som ökar i storlek eller antal samt avtagande funktioner  och hur liknande förändringar hänger ihop tillsammans med derivatan inom olika punkter vid ett kurva.

Nu bör oss titta närmare vid en från dem fall såsom oss hittade inom detta förra avsnittet - fallet då derivatan existerar lika tillsammans noll samt tangenten inom enstaka sådan punkt alltså existerar horisontell (den existerar parallell tillsammans med x-axeln).

oss bör även titta närmare vid då enstaka funktion antar sitt största alternativt minsta värde.

Derivatans nollställen

Varför existerar just sådana punkter var derivatan existerar lika tillsammans noll särskilt intressanta? Jo, angående derivatan existerar noll samt tangenten alltså existerar horisontell tillsammans med x-axeln, då betyder detta för att oss vid kurvan befinner oss högst uppe vid ett "topp" (vad oss inom fortsättningen kommer för att kalla ett maximipunkt), längst bort ner inom ett "dal" (en minimipunkt) alternativt vid enstaka "terrass" (en terrasspunkt).

enstaka terrasspunkt existerar enstaka punkt såsom vid båda sidor ifall sig äger ett något som ökar i storlek eller antal kurva alternativt vid båda sidor ett avtagande kurva.

Ett gemensamt term likt används till maximi- samt minimipunkter existerar extrempunkter, eftersom oss inom dessa punkter äger funktionsvärden såsom existerar högre (maximipunkt) alternativt lägre (minimipunkt) än omgivande funktionsvärden på grund av kurvan.

---

I figurerna nedan visar oss modell vid hur maximipunkter, minimipunkter samt terrasspunkter kunna titta ut

Några typiska funktioners grafer

Vi kunna äga nytta från för att uppleva igen samt uppleva mot huvuddragen inom hur enstaka polynomfunktion från högre grad ser ut.Det finns var numeriskt värde saker liksom existerar viktiga för att notera samt vilket existerar dem ledande faktorerna på grund av grafens utseende.

detta inledande existerar tecknet vid koefficienten före termen tillsammans med den största exponenten (positiv alternativt negativ), detta andra existerar hur massiv den största exponenten existerar.

oss visar nedan tre modell vid grafer tillsammans med olika största exponent.

x² - kurvor
Positiv koefficient framför x²

Negativ koefficient framför x²

x³- kurvor
Positiv koefficient framför x³

Negativ koefficient framför x³

x⁴- kurvor
Positiv koefficient framför x⁴

Negativ koefficient framför x⁴

Lokala extrempunkter samt extremvärden

En funktion är kapabel anta sitt största alternativt minsta värde inom extrempunkter (maximipunkter alternativt minimipunkter) alternativt inom intervallets ändpunkter.

ett funktion förmå existera definierad på grund av en visst intervall samt detta existerar inom start samt slutet från intervallet liksom existerar intervallets ändpunkter.

Vi tittar närmare vid funktionen nedan samt dess graf. oss önskar undersöka funktionens extrempunkter, extremvärden samt angående den besitter en största alternativt minsta värde.

$$f(x)=x^{3}+2x^{2}+2$$

I denna graf äger oss markerat en maximivärde (a) samt en minimivärde (b).

oss vet för att (a) samt (b) existerar extrempunkter eftersom tangentens lutning inom dessa punkter existerar horisontell samt punkten (a) ligger vid ett "topp" samt punkten (b) ligger inom ett "dal".

Vi kunna hitta dessa punkters koordinater utifrån den kunskap oss besitter angående derivatan mot funktionen. eftersom detta existerar extrempunkters koordinater oss söker, vet oss för att tangenterna existerar utan lutning - derivatan inom dessa punkter existerar lika tillsammans noll, vilket oss är kapabel använda:

$$f'(x)=0$$

Vi behöver därför derivera funktionen, sedan sätta uttrycket lika tillsammans med noll samt slutligen åtgärda den ekvation oss får.

Först deriverar oss funktionen i enlighet med dem deriveringsregler likt oss äger kommit fram mot tidigare:

$$f(x)=x^{3}+2x^{2}+2$$

$$f'(x)=3x^{2}+4x$$

Sedan sätter oss derivatan lika tillsammans med noll:

$$0=3x^{2}+4x$$

Slutligen löser oss ekvationen (i detta denna plats fallet går ekvationen för att åtgärda tillsammans med nollproduktmetoden, vilket existerar detta enklaste sättet då den existerar tillämpbar, dock oss förmå även åtgärda den tillsammans med pq-formeln):

$$0=3x^{2}+4x$$

$$0=x(3x+4)$$

$$\begin{align} x_{1} & =0 \\ x_{2} & =-\frac{4}{3} \end{align}$$

Nu äger oss hittat x-värdena på grund av dem båda extrempunkterna.

Man säger att funktionens minsta värdet är $y=1$ y = 1

Sätter oss in dessa x-värden inom f(x) får oss även ut y-värdena inom dessa punkter:

$$f(0)=0^{3}+2\cdot 0^{2}+2=2$$

Det en extrempunkten (b), minimipunkten, ligger inom (0,2).

$$f\left (-\frac{4}{3}\right )=\left ( -\frac{4}{3} \right )^{3}+2\cdot \left ( -\frac{4}{3} \right )^2 +2=$$

$$=-\frac{64}{27}+\frac{32}{9}+2=-\frac{64}{27}+\frac{96}{27}+\frac{54}{27}=$$

$$=\frac{86}{27}$$

Att beräkna funktionsvärdet till den andra extrempunkten (a), maximipunkten, fanns mer komplicerat, dock mot slut hittade oss den samt är kapabel konstatera för att koordinaterna till punkten existerar (-4/3, 86/27), vilket existerar ungefär (-1,3; 3,2).

Vi förmå idag svara vid för att detta dessa värden på grund av punkterna existerar varken detta största alternativt minsta värde till funktionen.

angående oss undersöker grafens utseende ser oss för att funktionen fortsätter uppåt då oss går längst bort den positiva x-axeln samt fortsätter neråt då oss går längst bort den negativa x-axeln. Detta fortsätter samt funktionen besitter varken en största alternativt minsta värde.

Exempel 1

Bestäm eventuella lokala extrempunkter, extremvärden samt eventuella terrasspunkter mot funktionen \(f(x)= 2x^3-3x^2\).

Vi börjar tillsammans för att derivera \(f(x)\) samt får

$$f'(x) = 2\cdot 3 x^2 -3\cdot 2x= 6x^2-6x$$

Extrempunkter finns var \(f'(x) =0\) därför oss ställer upp samt löser ekvationen

$$f'(x) = 6x^2 -6x = 0$$

$$6x(x-1) = 0$$

Vi får genom nollproduktsmetoden \(x_1 = 0 \) samt \( x_2=1 \)

Vi skapar ett teckenstudie på grund av för att besluta karaktären vid punkterna, genom för att sätta in x-värden inom derivatan, dessa x-värden existerar dem till extrempunkterna och några punkter vid sidan ifall samt mellan dem till för att titta hur funktionen beter sig.

Gradtal: högsta värdet på exponenten till variabeln i ett polynom, exempelvis har polynomet \(7x^4 -3x^2+x-3\) grad 4 Koefficient: ett värde som multipliceras (multiplikativ faktor) med en eller flera värden i ett uttryck eller ekvation, exempelvis i termen\(5x^6

således inledningsvis väljer oss x-värden, sätter in inom derivatan samt bryr oss bara ifall svaret blir positivt (då växer funktionen), negativt (då avtar funktionen) alternativt 0 (extrempunkt).

\(x\)	\(-1\)	\(0\)	\(0,5\)	\(1\)	\(2\)
\(f'(x)\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	växande	maximum	avtagande	minimum	växande

Teckenstudien ger lokalt maximum till \(x=0\) och lokalt minimum till \(x=1\).

oss konstaterar för att terrasspunkt saknas eftersom detta då behövs för att \(f'(x)\) ska existera antingen. positiv alternativt negativ vid båda sidor angående extrempunkten.

Svar:

Maximipunkten ges från \((0,f(0))= (0,0)\)

Minimipunkten ges från \((1,f(1))= (1,-1)\)

Terrasspunkt saknas.

Exempel 2:

Bestäm lokala extrempunkter, extremvärden samt eventuell terrasspunkt mot funktionen \(f(x) = 2x^3-18x\).

Lösning: Vi börjar tillsammans för att söka extrempunkterna samt deriverar funktionen samt sätter derivatan lika tillsammans noll.

$$f'(x)= 6x^2-18$$

$$f'(x)= 6x^2-18=0$$

$$6x^2= 18$$

$$x^2 = 3$$

$$x_1 = \sqrt{3}$$ 
$$x_2 = -\sqrt{3}$$ 

Vi utför ett teckenstudie till för att besluta karaktären vid punkterna

\(x\)	\(-2\)	\(-\sqrt{3}\)	\(0\)	\(\sqrt{3}\)	\(2\)
\(f'(x)\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	växande	maximum	avtagande	minimum	växande

Funktionens maximum fås inom \(x= -\sqrt{3}\) samt minimum inom \(x = \sqrt{3}\), oss sätter in dessa x-värden inom funktionen till för att ett fåtal ut punkternas y-värden.

$$f(-\sqrt{3})= 12\sqrt{3}$$

$$f(\sqrt{3})= -12\sqrt{3}$$

Svar: Extrempunkternas koordinater blir högsta \((-\sqrt{3},12\sqrt{3})\) samt min \((\sqrt{3},-12\sqrt{3})\)

Exempel 3:

Betrakta funktionen \(f(x) = 3x^3+4x\).

äger funktionen några extrempunkter alternativt terrasspunkter? Rita funktionen inom en koordinatsystem.

Lösning: För för att ta reda vid detta börjar oss tillsammans för att derivera funktionen

$$f'(x) = 9x^2 +4$$

och söker nollställena då \(f'(x) = 0\)

$$9x^2+4=0$$

$$x^2 = \frac{-4}{9}$$

Det betyder för att derivatan saknar reella nollställen.

Ofta vill man begränsa eller studera värdena till ett särskilt intervall och talar då om lokala extrempunkter

inom sin tur innebär detta för att funktionen \(f(x)\) saknar extrempunkter samt terrasspunkt. ett sådan funktion existerar antingen något som ökar i storlek eller antal alternativt avtagande till samtliga x. Vilket värde vid x vi än väljer därför existerar \(f'(x)>0\). detta betyder för att \(f(x)\) är strängt något som ökar i storlek eller antal på grund av varenda x.

Vi förmå även se i uppgiften för att funktionen existerar enstaka positiv tredjegradsfunktion eftersom \(x^3\)-termen existerar positiv.

Svar:

Funktionen saknar reella extremvärden samt terrasspunkt.

Funktionsgrafen framträda inom figuren mot höger.

Globala extrempunkter samt extremvärden

Vi lärde oss inom senaste avsnittet för att att fatta beslut eller bestämma något funktioners lokala extrempunkter, extremvärden samt terrasspunkter.

Inom en intervall  a ≤ x ≤ b förmå detta finnas extrempunkter x såsom ger största samt minsta värden antingen vilket lokala maximi- samt minimipunkter alternativt såsom ändpunkter a samt b inom intervallet.

En funktion kan vara definierad för ett visst intervall och det är i början och slutet av intervallet som är intervallets ändpunkter

inom figurerna nedan framträda numeriskt värde grafer likt förtydligar olika extrempunkter.

I dem fall a samt b tillhör intervallet betecknas detta tillsammans enstaka ifylld punkt inom ändpunkterna, angående a samt b ej tillhör intervallet existerar ändpunkterna ej ifyllda, vilket även betyder för att funktionen ej existerar definierad inom dem punkterna.

ett sådan funktion saknar därför största samt minsta värde inom ändpunkterna. Då måste oss undersöka angående detta finns andra lokala maximi- alternativt minimipunkter hos funktionen.

Största samt minsta värde betecknas även internationellt maximum respektive internationellt minimum (se figur). ett funktion antar alltså sitt största alternativt minsta värde inom derivatans nollställen alternativt inom intervallets ändpunkter.

Huvuddragen från grafen mot enstaka funktion är kapabel konstrueras tillsammans hjälp från derivata samt teckenstudie.

När man talar om det minsta och största värdet för en funktion söker man det minsta och största $y$ -värdet funktionen antal i ett visst intervall

Genom teckenstudie från derivatan vid båda sidor ifall derivatans nollställen, alltså var funktionen besitter extrempunkter, är kapabel oss att fatta beslut eller bestämma något ifall funktionen existerar något som ökar i storlek eller antal alternativt avtagande. existerar derivatan positiv existerar funktionen något som ökar i storlek eller antal, existerar derivatan negativ existerar funktionen avtagande.

vid således sätt förmå oss erhålla vägledning för att skissa grafen mot enstaka funktion. för att skissa grafer beskrivs mer inom detalj inom en senare del.

Ett modell vid teckentabell mot ett funktion liksom existerar definierad inom intervallet -2 ≤ x ≤ 6 visas nedan.

Lägg symbol mot för att ändpunkterna ingår inom intervallet samt för att oss äger ett terrasspunkt inom \(x=0\), där\( f'(0)=0\) eftersom \(f'(x)\) har negativa värden vid båda sidor ifall \(x=0\) . Största värde inom intervallet existerar 10 och minsta är -14

\(x\)	\(-2\)	t.ex.\(-1\)	\(0\)	t.ex. \(2\)	\(3\)	t.ex.\(4\)	\(6\)
\(f'(x)\)	\(4\)	\(-\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)
\(f(x)\)	\(10\)	avtagande	\(0\)	avtagande	-14	växande	\(13\)

Exempel 4:  En funktion såsom begränsas från en intervall

I detta på denna plats exemplet tittar oss närmar vid funktionen:

$$f(x)=x^3+3x^2$$

Som existerar begränsad inom intervallet \(-4 \leq x\leq 2\).

Vi önskar ta reda vid detta största samt minsta värdet mot funktionen liksom existerar definierat inom intervallen ovan.

oss börjar tillsammans för att ta reda vid extremvärdena på grund av funktionens extrempunkter.

Dessa värden kallas för extremvärden

detta görs genom för att ursprunglig derivera samt sätta derivatan mot 0:

$$f'(x)=3x^2+6x$$

$$\begin{align} 3x^2+6x & =0 \\ x(3x+6) & =0 \end{align}$$

Här äger oss numeriskt värde faktorer såsom bör existera lika tillsammans med 0, detta betyder för att oss är kapabel avläsa inledande faktorn samt titta för att x₁=0, på grund av den andra gäller:

$$\begin{align} 3x+6 & =0 \\ 3x & = -6 \\ x_2 & =-2\end{align}$$

Vi besitter alltså hittat numeriskt värde x-värden mot dem extrempunkter såsom oss söker.

oss letar för tillfället efter extremvärdena (y-värdena) inom dessa numeriskt värde punkter. detta görs genom för att stoppa in dem funna x-värdena inom funktionen:

För x₁=0:

$$f(0)=0^3+3\cdot 0^2 = 0$$

För x₂=-2:

$$f(-2)=(-2)^3+3\cdot(-2)^2=-8+12=4$$

Detta ger för att oss besitter extremvärden inom punkterna, vilka existerar y₁=0 (som existerar kandidat på grund av för att artikel detta minsta värdet) samt y₂=4 (som existerar kandidat på grund av för att artikel detta största värdet).

För för att artikel säkra vid ifall dessa extremvärden existerar dem största alternativt minsta värdena på grund av funktionen måste oss även testa intervallets ändpunkter, nämligan då x=-4 samt x=2:

$$f(-4)=(-4)^3+3\cdot (-4)^2=-64+48=-16$$

$$f(2)=2^3+3\cdot 2^2=8+12=20$$

De största samt minsta värdena mot funktionen nedsänkt alltså ej inom extrempunkterna, utan inom intervallets ändpunkter.

detta största värdet existerar 20 samt detta minsta värdet existerar -16.