Förberedande klass inom matematik 1
Hoppa till: navigering, sök
Innehåll:
- Olika vinkelmått (grader, radianer samt varv)
- Pythagoras sats
- Avståndsformeln inom planet
- Cirkelns ekvation
Lärandemål:
Efter detta del bör ni äga lärt dig att:
- Omvandla mellan grader, radianer samt varv.
- Beräkna arean samt omkretsen från cirkelsektorer. Nu ska vi räkna ut arean av en cirkelsektor
- Känna mot begreppen katet, hypotenusa samt rätvinklig triangel.
- Formulera samt nyttja Pythagoras sats.
- Beräkna avståndet mellan numeriskt värde punkter inom planet.
- Skissera cirklar tillsammans med hjälp från för att kvadratkomplettera deras ekvationer.
- Känna mot begreppen enhetscirkel, tangent, radie, diameter, periferi, korda samt cirkelbåge.
- Lösa geometriska bekymmer likt innehåller cirklar. Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: Omvandla mellan grader, radianer och varv
Vinkelmått
Det finns flera olika enheter till för att mäta vinklar, likt existerar praktiska inom olika kontext. dem numeriskt värde vanligaste vinkelmåtten inom matematiken existerar grader samt radianer.
- Radianer. en annat sätt för att mäta vinklar existerar för att nyttja längden från vinkelns cirkelbåge inom förhållande mot radien liksom mått vid vinkeln. Detta vinkelmått kallas till radian. en varv existerar alltså \displaystyle 2\pi radianer eftersom cirkelns omkrets existerar \displaystyle 2\pi r, var \displaystyle r existerar cirkelns radie.
en helt varv existerar \displaystyle 360^\circ alternativt \displaystyle 2\pi radianer samt detta utför för att
| \displaystyle \begin{align*} &1^\circ = \frac{1}{360} \cdot 2\pi\ \mbox{ radianer } = \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer,}\\ &1\ \mbox{ radian } = \frac{1}{2\pi} \cdot 360^\circ = \frac{180^\circ}{\pi}\,\mbox{.} \end{align*} |
Dessa omvandlingsfaktorer kunna användas på grund av för att konvertera mellan grader samt radianer.
Exempel 1
- \displaystyle 30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer } = \frac{\pi}{6}\ \mbox{ radianer }
- \displaystyle \frac{\pi}{8}\ \mbox { radianer } = \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{radian}\,) = \frac{\pi}{8} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 22{,}5^\circ
I enstaka sektion kontext kunna detta artikel meningsfullt för att prata ifall negativa vinklar alternativt vinklar likt existerar större än 360°.
Då förmå man nyttja för att man kunna ange identisk riktning tillsammans flera olika vinklar likt skiljer sig ifrån varandra tillsammans med en helt antal varv.
Exempel 2
- Vinklarna \displaystyle -55^\circ samt \displaystyle 665^\circ anger identisk riktning eftersom
| \displaystyle -55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ\,\mbox{.} |
- Vinklarna \displaystyle \frac{3\pi}{7} samt \displaystyle -\frac{11\pi}{7} anger identisk riktning eftersom
| \displaystyle \frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7}\,\mbox{.} |
- Vinklarna \displaystyle 36^\circ samt \displaystyle 216^\circ anger ej identisk riktning utan motsatta riktningar eftersom
| \displaystyle 36^\circ + 180^\circ = 216^\circ\,\mbox{.} |
Avståndsformeln
Pythagoras sats existerar enstaka från dem maximalt kända satserna inom matematiken samt säger för att inom enstaka rätvinklig triangel tillsammans med kateter \displaystyle a samt \displaystyle b, samt hypotenusa \displaystyle c gäller för att
Pythagoras sats:| \displaystyle c^2 = a^2 + b^2\,\mbox{.} |
| |
Exempel 3
I triangeln mot motsats till vänster existerar | \displaystyle c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25 |
och därför existerar hypotenusan \displaystyle c lika tillsammans med | \displaystyle c=\sqrt{25} = 5\,\mbox{.} |
| |
Pythagoras sats förmå användas till för att beräkna avståndet mellan numeriskt värde punkter inom en koordinatsystem.
För att räkna ut arean av en cirkel har viAvståndsformeln:
Avståndet \displaystyle d mellan numeriskt värde punkter tillsammans med koordinater \displaystyle (x,y) samt \displaystyle (a,b) existerar
| \displaystyle d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2}\,\mbox{.} |
Linjestycket mellan punkterna existerar hypotenusan inom ett rätvinklig triangel vars kateter existerar parallella tillsammans koordinataxlarna.
Kateternas längd existerar lika tillsammans med beloppet från skillnaden inom x- samt y-led mellan punkterna, dvs. \displaystyle |x-a| respektive \displaystyle |y-b|. Pythagoras sats ger sedan avståndsformeln.
Exempel 4
- Avståndet mellan \displaystyle (1,2) samt \displaystyle (3,1) existerar
| \displaystyle d = \sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{ 4+1} = \sqrt{5}\,\mbox{.} |
- Avståndet mellan \displaystyle (-1,0) samt \displaystyle (-2,-5) existerar
| \displaystyle d = \sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}\,\mbox{.} |
Cirklar
En cirkel består från varenda punkter såsom befinner sig vid en visst fixt avstånd \displaystyle r ifrån enstaka punkt \displaystyle (a,b).
Avståndet \displaystyle r kallas på grund av cirkelns radie samt punkten \displaystyle (a,b) på grund av cirkelns medelpunkt. Figuren nedan visar andra viktiga cirkelbegrepp.
Hur stor del av cirkeln en cirkelsektor är beror på vinkeln v (eller α α) i mitten av cirkeln, som kallas medelpunktsvinkeln | | | |
| Diameter | Tangent | Korda | Sekant |
|
| | | |
| Cirkelbåge | Periferi | Cirkelsektor | Cirkelsegment |
Exempel 5
En cirkelsektor existerar given inom figuren mot motsats till vänster.
- Bestäm cirkelbågens längd.
Medelpunktsvinkeln \displaystyle 50^\circ blir inom radianer | \displaystyle 50^\circ = 50 \cdot 1^\circ = 50 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer } = \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ radianer. } |
| |
- På detta sätt liksom radianer existerar definierat betyder detta för att cirkelbågens längd existerar radien multiplicerat tillsammans vinkeln mätt inom radianer,
| \displaystyle 3 \cdot \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ l.e.
} = \frac{5\pi}{6}\ \mbox{ l.e. Vi börjar med att räkna ut vad hela pizzan hade för area} |
- Bestäm cirkelsektorns area.
Cirkelsektorns andel från all cirkeln existerar | \displaystyle \frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36} |
och detta betyder för att dess area existerar \displaystyle \frac{5}{36} delar från cirkelns area såsom existerar \displaystyle \pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi, dvs.
| \displaystyle \frac{5}{36} \cdot 9\pi\ \mbox{ a.e. }= \frac{5\pi}{4}\ \mbox{ a.e. Formulera och använda Pythagoras sats} |
En punkt \displaystyle (x,y) ligger vid cirkeln liksom äger medelpunkt inom \displaystyle (a,b) samt radie \displaystyle r angående dess avstånd mot medelpunkten existerar lika tillsammans med \displaystyle r. Detta villkor är kapabel formuleras tillsammans avståndsformeln såsom
Cirkelns ekvation:| \displaystyle (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.} |
| |
Exempel 6
- \displaystyle (x-1)^2 + (y-2)^2 = 9\quad existerar ekvationen till ett cirkel tillsammans med medelpunkt inom \displaystyle (1,2) samt radie \displaystyle \sqrt{9} = 3.
| |
- \displaystyle x^2 + (y-1)^2 = 1\quad kunna tecknas såsom \displaystyle (x-0)^2 + (y-1)^2 = 1 samt existerar ekvationen på grund av ett cirkel tillsammans med medelpunkt inom \displaystyle (0,1) samt radie \displaystyle \sqrt{1} = 1.
| |
- \displaystyle (x+1)^2 + (y-3)^2 = 5\quad är kapabel tecknas vilket \displaystyle (x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5 samt existerar ekvationen på grund av ett cirkel tillsammans medelpunkt inom \displaystyle (-1,3) samt radie \displaystyle \sqrt{5} \approx 2{,}236.
| |
Exempel 7
- Ligger punkten \displaystyle (1,2) vid cirkeln \displaystyle (x-4)^2 +y^2=13?
Stoppar oss in punktens koordinater \displaystyle x=1 samt \displaystyle y=2 inom cirkelns ekvation äger oss för att
| \displaystyle \begin{align*} \mbox{VL } &= (1-4)^2+2^2\\ &= (-3)^2+2^2 = 9+4 = 13 = \mbox{HL}\,\mbox{.} \end{align*} |
Eftersom punkten möter cirkelns ekvation ligger punken vid cirkeln.
- Bestäm ekvationen på grund av cirkeln såsom besitter medelpunkt inom \displaystyle (3,4) samt innehåller punkten \displaystyle (1,0). Medelpunktvinkel: den vinkel som skapas i en cirkel mellan två radier, namnet kommer från att vinkeln ligger i anslutning till medelpunkten
eftersom punkten \displaystyle (1,0) bör ligga ner vid cirkeln måste cirkelns radie artikel lika tillsammans med avståndet ifrån \displaystyle (1,0) mot medelpunkten \displaystyle (3,4). Avståndsformeln ger för att detta avstånd existerar
| \displaystyle c = \sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{.} |
Cirkelns ekvation existerar därför
| \displaystyle (x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.} |
Exempel 8
Bestäm medelpunkt samt radie på grund av den cirkel vars ekvation existerar \displaystyle \ x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0.
oss bör försöka nedteckna angående cirkelns ekvation vid formen
| \displaystyle (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 |
för då kunna oss direkt avläsa för att medelpunken existerar \displaystyle (a,b) samt radien existerar \displaystyle r.
Börja tillsammans för att kvadratkomplettera termerna vilket innehåller \displaystyle x inom vänsterledet
| \displaystyle \underline{x^2-2x\vphantom{(}} + y^2+4y + 1 = \underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1 |
(de understrukna termerna visar kvadratkompletteringen).
Kvadratkomplettera sedan termerna likt innehåller \displaystyle y
| \displaystyle (x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1 = (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1\,\mbox{.} |
Vänsterledet existerar alltså lika tillsammans med
| \displaystyle (x-1)^2 + (y+2)^2-4 |
och ändrar bostadsort oss ovan 4 mot högerledet existerar cirkelns ekvation
| \displaystyle (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \, \mbox{.} |
Vi avläser för att medelpunkten existerar \displaystyle (1,-2) samt radien existerar \displaystyle \sqrt{4}= 2.
Övningar